9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 50, sin A = 0.4. Найдите длину отрезка BH.

В прямоугольном треугольнике ABC, sin A = $$\frac{BC}{AB}$$. Зная, что sin A = 0.4 и AB = 50, найдем BC: $$BC = AB \cdot sin A = 50 \cdot 0.4 = 20$$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. Угол B у них общий. cos B = $$\frac{BH}{BC}$$ = $$\frac{BC}{AB}$$ Следовательно, $$\frac{BH}{BC}$$ = cos B = $$\frac{\sqrt{AB^2 - BC^2}}{AB} = \frac{\sqrt{50^2 - 20^2}}{50} = \frac{\sqrt{2500 - 400}}{50} = \frac{\sqrt{2100}}{50} = \frac{10\sqrt{21}}{50} = \frac{\sqrt{21}}{5}$$ $$BH = BC \cdot \frac{AB}{\sqrt{AB^2 - BC^2}} = 20 \cdot (\frac{4}{5}) = 16$$ Альтернативное решение: В прямоугольном треугольнике ABC, cos A = $$\frac{AC}{AB}$$. Также, cos A = $$\sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - 0.4^2} = \sqrt{1 - 0.16} = \sqrt{0.84}$$ В прямоугольном треугольнике AHC, AH = AC * cos A cos A = $$\frac{AH}{AC}$$ = $$\frac{AC}{AB}$$ $$\triangle ABC \sim \triangle ACH \sim \triangle CBH$$ $$BH = AB - AH = AB - AC cos A = AB - AB cos^2 A = AB (1 - cos^2 A) = AB sin^2 A = 50 * 0.4^2 = 50 * 0.16 = 8$$ Ответ: 8