В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 72, \(sin A = \frac{1}{6}\). Найдите AH.

Для решения задачи нам понадобится использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1. Определение синуса угла: В прямоугольном треугольнике синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае: \[ sin A = \frac{CH}{AB} \] Мы знаем, что \(sin A = \frac{1}{6}\) и \(AB = 72\). Подставим эти значения: \[ \frac{1}{6} = \frac{CH}{72} \] Отсюда найдём CH: \[ CH = \frac{72}{6} = 12 \] 2. Рассмотрим треугольник ACH: Треугольник ACH также является прямоугольным (так как CH – высота). 3. Используем теорему Пифагора для треугольника ACH: \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \] Нам нужно найти AH, но мы не знаем AC. Для этого воспользуемся определением косинуса угла A в большом треугольнике ABC: \[ cos A = \frac{AC}{AB} \] Сначала найдем \(cos A\), зная \(sin A\): Используем основное тригонометрическое тождество: \[ sin^2 A + cos^2 A = 1 \] Подставим \(sin A = \frac{1}{6}\): \[ (\frac{1}{6})^2 + cos^2 A = 1 \] \[ \frac{1}{36} + cos^2 A = 1 \] \[ cos^2 A = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} \] \[ cos A = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6} \] Теперь найдем AC: \[ AC = AB \cdot cos A = 72 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = 12\sqrt{35} \] 4. Теперь вернемся к треугольнику ACH и теореме Пифагора: \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \] Подставим известные значения: \[ (12\sqrt{35})^2 = AH^2 + 12^2 \] \[ 144 \cdot 35 = AH^2 + 144 \] \[ 5040 = AH^2 + 144 \] \[ AH^2 = 5040 - 144 = 4896 \] \[ AH = \sqrt{4896} = \sqrt{144 \cdot 34} = 12\sqrt{34} \] Но есть более простой способ найти AH, используя тот факт, что \(sin A = \frac{AH}{AC}\) в треугольнике \(\triangle ACH\). Тогда: \[ AH = AC \cdot sin A \] Мы уже нашли, что \(AC = 12\sqrt{35}\) и \(sin A = \frac{1}{6}\), следовательно: \[ AH = 12\sqrt{35} \cdot \frac{1}{6} = 2\sqrt{35} \] Ответ: \(AH = 2\sqrt{35}\)