В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB=100, \(\sin A = \frac{4}{5}\). Найдите длину отрезка AH.

Пошаговое решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\] Отсюда: \[\sin A = \frac{4}{5} = \frac{BC}{100}\] Тогда: \[BC = \frac{4}{5} \cdot 100 = 80\]
2. По теореме Пифагора: \[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[AC^2 = AB^2 - BC^2 = 100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600\] \[AC = \sqrt{3600} = 60\]
3. В прямоугольном треугольнике ACH: \[\cos A = \frac{AH}{AC}\] \[\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\] \[AH = AC \cdot \cos A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36\]

Ответ: 36