13. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, $$\sin A = \frac{1}{3}$$. Найдите длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$, $$\sin A = \frac{BC}{AB}$$. В прямоугольном треугольнике $$ACH$$, $$\cos A = \frac{AH}{AC}$$. Нам дано $$\sin A = \frac{1}{3}$$ и $$AB = 45$$. Сначала найдем $$AC$$. Зная, что $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$, найдем $$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Из треугольника $$ABC$$ найдем $$AC$$:$$\cos A = \frac{AC}{AB} => AC = AB*\cos A $$ Так как $$\triangle ACH$$ - прямоугольный: $$\cos A = \frac{AH}{AC}$$ или $$AH = AC \cos A = AB \cdot \cos^2 A = 45 \cdot \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 45 \cdot \frac{8}{9} = 5 \cdot 8 = 40$$. Ответ: **40**