В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 45, sinA=2/3. Найдите длину отрезка ВН.

Ответ: 20

Шаг 1: Находим длину стороны BC.

Синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{2}{3} = \frac{BC}{45}\]

Решаем уравнение относительно BC:

\[BC = \frac{2}{3} \cdot 45 = 30\]

Шаг 2: Находим длину стороны AC, используя теорему Пифагора для треугольника ABC.

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[45^2 = AC^2 + 30^2\] \[2025 = AC^2 + 900\] \[AC^2 = 2025 - 900 = 1125\] \[AC = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5}\]

Шаг 3: Находим длину отрезка AH, используя теорему Пифагора для треугольника ACH.

Сначала найдем высоту CH, используя площадь треугольника ABC:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\] \[15\sqrt{5} \cdot 30 = 45 \cdot CH\] \[CH = \frac{15\sqrt{5} \cdot 30}{45} = 10\sqrt{5}\]

Теперь, зная CH и AC, найдем AH:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[(15\sqrt{5})^2 = AH^2 + (10\sqrt{5})^2\] \[1125 = AH^2 + 500\] \[AH^2 = 1125 - 500 = 625\] \[AH = \sqrt{625} = 25\]

Шаг 4: Находим длину отрезка BH.

BH = AB - AH

\[BH = 45 - 25 = 20\]

Ответ: 20