9. В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$90°$$, $$CH$$ - высота, $$AB = 45$$, $$sin A = \frac{1}{3}$$. Найдите длину отрезка $$AH$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$, $$sin A = \frac{BC}{AB}$$. Значит, $$BC = AB cdot sin A = 45 cdot \frac{1}{3} = 15$$. Теперь найдем $$AC$$ по теореме Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$, откуда $$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 45^2 - 15^2 = 2025 - 225 = 1800$$. Следовательно, $$AC = \sqrt{1800} = \sqrt{900 cdot 2} = 30\sqrt{2}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. В нем $$cos A = \frac{AH}{AC}$$. Также, $$sin^2 A + cos^2 A = 1$$, значит, $$cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$. Следовательно, $$cos A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Тогда $$AH = AC cdot cos A = 30\sqrt{2} cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 10\sqrt{2} cdot 2\sqrt{2} = 20 cdot 2 = 40$$. Ответ: 40