В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AB=45, $$sin A = \frac{2}{3}$$. Найдите отрезок AH.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и тригонометрических функций. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем $$sin A = \frac{BC}{AB}$$. По условию, $$sin A = \frac{2}{3}$$ и $$AB = 45$$. Следовательно: $$\frac{BC}{45} = \frac{2}{3}$$ $$BC = \frac{2}{3} \cdot 45 = 30$$ 2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем $$\angle A$$ является общим для треугольников ABC и ACH. Мы знаем, что $$cos A = \frac{AH}{AC}$$. Чтобы найти $$cos A$$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$sin^2 A + cos^2 A = 1$$. $$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + cos^2 A = 1$$ $$\frac{4}{9} + cos^2 A = 1$$ $$cos^2 A = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$ $$cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$ 3. Чтобы найти AC, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABC: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$. $$AC^2 + 30^2 = 45^2$$ $$AC^2 + 900 = 2025$$ $$AC^2 = 2025 - 900 = 1125$$ $$AC = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5}$$ 4. Теперь мы можем найти AH, используя $$cos A = \frac{AH}{AC}$$. $$\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{AH}{15\sqrt{5}}$$ $$AH = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot 15\sqrt{5} = \frac{15 \cdot 5}{3} = \frac{75}{3} = 25$$ Ответ: 25