В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН высота, АВ = 72, sin A = 1 6. Найдите АН. 9 Ответ:

Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH

В прямоугольном треугольнике ACH, синус угла A равен отношению противолежащего катета (CH) к гипотенузе (AC):

\[sin A = \frac{CH}{AC}\]

Шаг 2: Выразим AC из прямоугольного треугольника ABC

В прямоугольном треугольнике ABC, синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{6}\]

Значит, \(AB = 72\)

Шаг 3: Найдем АH из прямоугольного треугольника AHC \[cos A = \frac{AH}{AC}\]

Чтобы найти AH, нам нужно выразить AC и cos A через известные величины.

Мы знаем, что sin A = 1/6, поэтому найдем cos A:

\[cos^2 A + sin^2 A = 1\] \[cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}\]

Шаг 4: Найдем AC \[\frac{BC}{AB} = \frac{1}{6}\] \[BC = \frac{AB}{6} = \frac{72}{6} = 12\]

По теореме Пифагора для треугольника ABC:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{72^2 - 12^2} = \sqrt{5184 - 144} = \sqrt{5040} = 12\sqrt{35}\]

Шаг 5: Найдем AH \[AH = AC \cdot cos A = 12\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{12 \cdot 35}{6} = 2 \cdot 35 = 70\]