В треугольнике ABC угол C равен 74°, внешний угол при вершине А равен 106°. Найдите длину стороны ВС, если АВ = 13.

Решение:

1. Найдем угол А:
• Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов. Однако, проще найти смежный внутренний угол.
• Внутренний угол A = 180° - внешний угол A = 180° - 106° = 74°.
2. Проверим, является ли треугольник равнобедренным:
• Угол A = 74°
• Угол C = 74°
• Так как два угла треугольника равны, то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB.
• Следовательно, стороны, противолежащие равным углам, равны: BC = AC.
3. Найдем угол B:
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Угол B = 180° - Угол A - Угол C = 180° - 74° - 74° = 180° - 148° = 32°.
4. Применим теорему синусов:
• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
• Где:
• $$a = BC$$
• $$b = AC$$
• $$c = AB = 13$$
• $$A = 74°$$
• $$B = 32°$$
• $$C = 74°$$
5. Найдем сторону BC (a):
• \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \]
• \[ \frac{BC}{\sin 74°} = \frac{13}{\sin 74°} \]
• \[ BC = \frac{13 imes \sin 74°}{\sin 74°} \]
• \[ BC = 13 \]

Ответ: 13