В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, sin A = 3√34 / 34. Найдите BC.

Краткая запись:

• Треугольник ABC, угол C = 90°
• AC = 4
• sin A = \( \frac{3\sqrt{34}}{34} \)
• Найти: BC

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, что BC является противолежащим катетом к углу A, а AC — прилежащим. AB — гипотенуза.
2. Шаг 2: Записываем формулу синуса угла A: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
3. Шаг 3: Мы знаем \( \sin A = \frac{3\sqrt{34}}{34} \) и AC = 4. Чтобы найти BC, нам нужно сначала найти AB. Для этого можно использовать косинус угла A. Из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), найдем \( \cos A \):
   \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left( \frac{3\sqrt{34}}{34} \right)^2 = 1 - \frac{9 \cdot 34}{34^2} = 1 - \frac{9}{34} = \frac{34 - 9}{34} = \frac{25}{34} \).
   \( \cos A = \sqrt{\frac{25}{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34} \).
4. Шаг 4: Теперь используем определение косинуса: \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).
   \( \frac{5\sqrt{34}}{34} = \frac{4}{AB} \).
   \( AB = \frac{4 · 34}{5\sqrt{34}} = \frac{136}{5\sqrt{34}} = \frac{136\sqrt{34}}{5 · 34} = \frac{136\sqrt{34}}{170} = \frac{4\sqrt{34}}{5} \).
5. Шаг 5: Подставляем значение AB в формулу синуса: \( \frac{3\sqrt{34}}{34} = \frac{BC}{\frac{4\sqrt{34}}{5}} \).
   \( BC = \frac{3\sqrt{34}}{34} · \frac{4\sqrt{34}}{5} = \frac{3 · 4 · 34}{34 · 5} = \frac{12 · 34}{34 · 5} = \frac{12}{5} \).

Ответ: \( \frac{12}{5} \)