В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 180, sin A = 1/6. Найдите длину отрезка AH.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) известны:

• Гипотенуза \( AB = 180 \)
• Синус угла A: \( \sin A = \frac{1}{6} \)

Нам нужно найти длину отрезка AH, где CH — высота.

1. Найдем длину катета BC, используя определение синуса:

\( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \)

\( \frac{1}{6} = \frac{BC}{180} \)

\( BC = 180 \times \frac{1}{6} = 30 \)

2. Найдем длину катета AC, используя теорему Пифагора:

\( AC^2 = AB^2 - BC^2 \)

\( AC^2 = 180^2 - 30^2 \)

\( AC^2 = 32400 - 900 \)

\( AC^2 = 31500 \)

\( AC = \sqrt{31500} = \sqrt{900 \times 35} = 30\sqrt{35} \)

3. Найдем длину высоты CH.

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

\( S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times CH \)

\( \frac{1}{2} \times 30\sqrt{35} \times 30 = \frac{1}{2} \times 180 \times CH \)

\( 450\sqrt{35} = 90 \times CH \)

\( CH = \frac{450\sqrt{35}}{90} = 5\sqrt{35} \)

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (угол H = 90°). В нем мы знаем катет CH и гипотенузу AC.

Мы можем найти синус угла A в этом треугольнике:

\( \sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{5\sqrt{35}}{30\sqrt{35}} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \)

Это совпадает с исходным условием, что подтверждает правильность наших расчетов.

5. Найдем длину отрезка AH, используя теорему Пифагора в треугольнике ACH:

\( AH^2 = AC^2 - CH^2 \)

\( AH^2 = (30\sqrt{35})^2 - (5\sqrt{35})^2 \)

\( AH^2 = 31500 - (25 \times 35) \)

\( AH^2 = 31500 - 875 \)

\( AH^2 = 30625 \)

\( AH = \sqrt{30625} \)

Чтобы извлечь корень из 30625, можно заметить, что число заканчивается на 25, значит, корень может заканчиваться на 5. Проверим числа, оканчивающиеся на 5:

\( 170^2 = 28900 \)

\( 180^2 = 32400 \)

Значит, корень лежит между 170 и 180. Попробуем 175:

\( 175^2 = (170+5)^2 = 170^2 + 2 \times 170 \times 5 + 5^2 = 28900 + 1700 + 25 = 30625 \)

Итак, \( AH = 175 \).

Ответ: 175