В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, sinA = 2/3. Найдите длину отрезка AH.

Дано:

• Треугольник ABC, $$ \angle C = 90^{\circ} $$
• CH — высота
• $$ AB = 45 $$
• $$ \sin A = \frac{2}{3} $$

Найти: Длину отрезка AH.

Решение:

1. Найдем длину катета BC:
   В прямоугольном треугольнике ABC: $$ \sin A = \frac{BC}{AB} $$.
   Следовательно, $$ BC = AB \times \sin A $$.
   $$ BC = 45 \times \frac{2}{3} = 15 \times 2 = 30 $$.
2. Найдем длину катета AC:
   По теореме Пифагора: $$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $$.
   $$ AC^2 + 30^2 = 45^2 $$.
   $$ AC^2 + 900 = 2025 $$.
   $$ AC^2 = 2025 - 900 = 1125 $$.
   $$ AC = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \times 5} = 15\sqrt{5} $$.
3. Найдем синус угла B:
   В прямоугольном треугольнике ABC, $$ \angle A + \angle B = 90^{\circ} $$.
   $$ \sin B = \cos A $$.
   Найдем $$ \cos A $$: $$ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} $$.
   Значит, $$ \sin B = \frac{\sqrt{5}}{3} $$.
4. Найдем длину высоты CH:
   Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:
   1) $$ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 15\sqrt{5} \times 30 = 225\sqrt{5} $$.
   2) $$ S = \frac{1}{2} \times AB \times CH = \frac{1}{2} \times 45 \times CH $$.
   Приравнивая площади: $$ \frac{1}{2} \times 45 \times CH = 225\sqrt{5} $$.
   $$ CH = \frac{2 \times 225\sqrt{5}}{45} = \frac{450\sqrt{5}}{45} = 10\sqrt{5} $$.
5. Найдем длину отрезка AH:
   В прямоугольном треугольнике ACH (так как CH — высота, $$ \angle CHA = 90^{\circ} $$):
   $$ \sin A = \frac{CH}{AC} $$.
   $$ \sin A = \frac{10\sqrt{5}}{15\sqrt{5}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} $$. Это соответствует условию.
6. Теперь используем теорему Пифагора в треугольнике ACH:
   $$ AH^2 + CH^2 = AC^2 $$.
   $$ AH^2 + (10\sqrt{5})^2 = (15\sqrt{5})^2 $$.
   $$ AH^2 + (100 \times 5) = (225 \times 5) $$.
   $$ AH^2 + 500 = 1125 $$.
   $$ AH^2 = 1125 - 500 = 625 $$.
   $$ AH = \sqrt{625} = 25 $$.

Ответ: 25