В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 54, sin A = 1/6. Найдите AH.

В прямоугольном треугольнике \(\sin A=\frac{BC}{AB}\), поэтому \(BC=54\cdot\frac16=9\).

\(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{54^2-9^2}=\sqrt{2835}=9\sqrt{35}\).

Из подобия треугольников или свойства проекции катета: \(AC^2=AB\cdot AH\).

Следовательно, \(AH=\frac{AC^2}{AB}=\frac{2835}{54}=\frac{105}{2}\).

Ответ: \(\frac{105}{2}\).