В треугольнике ABC выполнено AC = BC и AB = 20, а высота AH равна 8. Найдите синус угла BAC.

Для решения этой задачи нам понадобится вспомнить определение синуса угла в прямоугольном треугольнике и применить теорему Пифагора.

1. Рассмотрим треугольник AHC, который является прямоугольным, так как AH - высота.

2. Нам известно, что AB = 20. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то высота AH не является медианой. Но мы можем найти CH, зная AC=BC и проведя высоту из вершины C к стороне AB (назовем её, например, CK). CK будет являться и медианой, значит AK = KB = 10. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACK.

3. Обозначим AC = BC = x. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ACK: $$AC^2 = AK^2 + CK^2$$, то есть $$x^2 = 10^2 + CK^2$$. Отсюда $$CK^2 = x^2 - 100$$, и $$CK = \sqrt{x^2 - 100}$$.

4. Теперь рассмотрим треугольник AHC. По теореме Пифагора: $$AC^2 = AH^2 + HC^2$$, то есть $$x^2 = 8^2 + HC^2$$. Отсюда $$HC^2 = x^2 - 64$$, и $$HC = \sqrt{x^2 - 64}$$.

5. Заметим, что HC = CK - HK. Выразим HK: $$HK = CK - HC = \sqrt{x^2 - 100} - \sqrt{x^2 - 64}$$.

6. Также, AK = AH + HK, то есть 10 = AH + HK, HK = 10 - AH = 10 - 8 = 2.

7. Получаем уравнение: $$\sqrt{x^2 - 100} - \sqrt{x^2 - 64} = 2$$

8. $$\sqrt{x^2 - 100} = 2 + \sqrt{x^2 - 64}$$ Возведем обе части в квадрат: $$x^2 - 100 = 4 + 4\sqrt{x^2 - 64} + x^2 - 64$$

9. $$- 100 = 4 + 4\sqrt{x^2 - 64} - 64$$

10. $$4\sqrt{x^2 - 64} = 60 - 100 = -40$$

11. $$\sqrt{x^2 - 64} = -10$$ Так как корень не может быть отрицательным, то задача не имеет решения.

Однако, в задаче опечатка. Высота должна быть проведена к стороне BC. Решим задачу с этим условием.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (AH - высота, проведенная к BC). Синус угла BAC определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. В треугольнике ABH, AH является противолежащим катетом к углу B, а AB - гипотенузой. Значит, sin(B) = AH / AB.

3. По условию, AH = 8 и AB = 20.

4. Тогда, sin(B) = 8 / 20 = 2 / 5 = 0.4.

5. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), углы при основании равны, то есть угол BAC = углу B.

6. Следовательно, sin(BAC) = sin(B) = 0.4.

Ответ: 0.4