В треугольнике ABC взяли точку A1 - середину стороны BC. Пусть M - такая точка на отрезке AA1, что AM : MA₁ = 2 : 1. Через точку M провели прямые BM и CM до пересечения со сторонами AC и AB соответственно, и получили точки B1 и C1. Найдите периметр треугольника A1B1C1, если известно, что периметр треугольника ABC равен 10.

Для решения этой задачи нам потребуется воспользоваться теоремой Чевы и теоремой Менелая. 1. Теорема Чевы: В треугольнике ABC точки A1, B1, C1 лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB (или их продолжениях). Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: $$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$$ В нашем случае прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M. Так как A1 - середина BC, то BA1 = A1C, и \(\frac{BA_1}{A_1C} = 1\). Тогда теорема Чевы принимает вид: $$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot 1 \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$$ $$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{AB_1}{B_1C}$$ 2. Теорема Менелая: Для треугольника AA1C и прямой BMB1: $$\frac{AM}{MA_1} \cdot \frac{A_1B}{BC} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$$ Учитывая, что AM : MA1 = 2 : 1, имеем \(\frac{AM}{MA_1} = 2\). Так как A1 - середина BC, то BC = 2A1C, и A1B=A1C, поэтому \(\frac{A_1B}{BC} = \frac{A_1C}{2A_1C} = \frac{1}{2}\). Подставляем эти значения в уравнение теоремы Менелая: $$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$$ $$\frac{CB_1}{B_1A} = 1$$ Следовательно, CB1 = B1A, то есть B1 - середина AC. Аналогично доказывается, что C1 - середина AB. 3. Периметр треугольника A1B1C1: Так как A1, B1 и C1 - середины сторон BC, AC и AB соответственно, то A1B1, B1C1 и C1A1 - средние линии треугольника ABC. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна. Значит: * A1B1 = 1/2 AB * B1C1 = 1/2 BC * C1A1 = 1/2 AC Периметр треугольника A1B1C1 равен: $$P_{A_1B_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + C_1A_1 = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(AB + BC + AC) = \frac{1}{2}P_{ABC}$$ Так как периметр треугольника ABC равен 10, то периметр треугольника A1B1C1 равен: $$P_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$$ Ответ: 5