В треугольнике АВС ∠A=70°, ∠B=80°, BE – биссектриса. Найдите расстояние от точки Е до прямой АВ, если ЕС = 14,6.

Решение:

Пусть EH – перпендикуляр, опущенный из точки E на прямую AB. Тогда EH – искомое расстояние.

Найдем угол C треугольника ABC:

\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 70^\circ - 80^\circ = 30^\circ\]

Так как BE – биссектриса угла B, то ∠EBC = \(\frac{1}{2}\) ∠B = \(\frac{1}{2}\) · 80° = 40°.

Рассмотрим треугольник EBC. ∠ECB = ∠C = 30°.

Сумма углов треугольника EBC равна 180°:

\[\angle BEC = 180^\circ - \angle EBC - \angle ECB = 180^\circ - 40^\circ - 30^\circ = 110^\circ\]

Теперь рассмотрим треугольник ABE. ∠BAE = ∠A = 70°.

В прямоугольном треугольнике AEH:

\[\sin(\angle AEB) = \frac{EH}{AE}\]

Рассмотрим треугольник BEC. По теореме синусов:

\[\frac{EC}{\sin(\angle EBC)} = \frac{BE}{\sin(\angle C)}\]\[\frac{14.6}{\sin(40^\circ)} = \frac{BE}{\sin(30^\circ)}\]\[BE = \frac{14.6 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(40^\circ)} = \frac{14.6 \cdot 0.5}{0.643} \approx 11.35\]

В треугольнике ABE найдем угол AEB:

\[\angle AEB = 180^\circ - \angle A - \angle ABE = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ\]

Так как ∠A = ∠AEB, то треугольник ABE равнобедренный, и AE = AB.

Теперь рассмотрим треугольник AHE:

\[\sin(\angle A) = \frac{EH}{AE}\]\[\sin(70^\circ) = \frac{EH}{11.35}\]\[EH = 11.35 \cdot \sin(70^\circ) = 11.35 \cdot 0.94 \approx 10.67\]

Ответ: 10.67