В треугольнике АВС АC = AB, ∠B = 60°, высота AD = 10. Найдите расстояние от точки D до прямой АС.

Раз треугольник ABC равнобедренный (AC = AB) и угол B = 60°, то и угол C = 60°. Следовательно, и угол A = 180° - 60° - 60° = 60°. Значит, треугольник ABC равносторонний. Так как AD - высота равностороннего треугольника, она также является и медианой. Обозначим сторону треугольника как a. Тогда BD = DC = a/2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем AD = 10, BD = a/2. По теореме Пифагора: $$AD^2 + BD^2 = AB^2$$ $$10^2 + (a/2)^2 = a^2$$ $$100 + a^2/4 = a^2$$ $$100 = 3a^2/4$$ $$a^2 = 400/3$$ $$a = \sqrt{400/3} = 20/\sqrt{3}$$ Теперь найдем площадь треугольника ADC двумя способами: 1. Как половина произведения основания на высоту: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} * AC * DE$$, где DE - расстояние от точки D до AC. 2. Как половина площади всего треугольника ABC: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} * S_{ABC} = \frac{1}{2} * (\frac{1}{2} * AC * AD * sin(A)) = \frac{1}{4} * AC * AD * sin(60)$$ Приравниваем оба выражения для площади: $$ \frac{1}{2} * AC * DE = \frac{1}{4} * AC * AD * sin(60)$$ $$DE = \frac{1}{2} * AD * sin(60)$$ $$DE = \frac{1}{2} * 10 * \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$$ Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{2}$$