3. В треугольнике АВС ∠A = 90°, ZC = 15°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 15°. а) Докажите, что BD = 2AB. б) Докажите, что ВС < 4AB.

Решение:

a) Рассмотрим треугольник BDC. ∠DBC = 15°, ∠C = 15°, следовательно, треугольник BDC равнобедренный, и BD = CD.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. ∠A = 90°, ∠ABD = 90° - ∠DBC = 90° - 15° = 75°.

В прямоугольном треугольнике ABD: sin∠ABD = \(\frac{AD}{BD}\)

Получается: AD = BD * sin∠ABD

Рассмотрим треугольник ABC: ∠A = 90°, ZC = 15°, тогда ∠ABC = 180 - 90 - 15 = 75°.

В прямоугольном треугольнике ABC: sin∠ABC = \(\frac{AC}{BC}\)

Получается: AC = BC * sin∠ABC

Так как AC = AD + CD, то BC * sin∠ABC = BD * sin∠ABD + CD.

Так как BD = CD, то BC * sin∠ABC = BD * (sin∠ABD + 1)

Выразим BD: BD = \(\frac{BC * sin∠ABC}{sin∠ABD + 1}\)

b) Рассмотрим треугольник ABC: sin∠C = \(\frac{AB}{BC}\). Следовательно, BC = \(\frac{AB}{sin∠C}\) = \(\frac{AB}{sin15°}\)

Нужно доказать, что BC < 4AB. Подставим вместо BC выражение: \(\frac{AB}{sin15°}\) < 4AB.

Получается, что \(\frac{1}{sin15°}\) < 4

Синус 15 градусов равен 0.2588, следовательно, 1/0.2588 = 3.86. Значит, 3.86 < 4, что является правдой. Ч.т.д.