25. В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 37: 35, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 42.

Решение: 1. Пусть $$BH$$ - высота, проведенная из вершины $$B$$, а $$AL$$ - биссектриса угла $$A$$. Пусть $$O$$ - точка пересечения $$BH$$ и $$AL$$. По условию $$BO:OH = 37:35$$. 2. В треугольнике $$ABH$$ биссектриса $$AO$$ делит сторону $$BH$$ в отношении $$BO:OH = 37:35$$. По свойству биссектрисы треугольника, $$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{37}{35}$$. 3. Пусть $$AB = 37x$$ и $$AH = 35x$$. Так как $$BH$$ - высота, то треугольник $$ABH$$ прямоугольный, и $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$, то есть $$(37x)^2 = (35x)^2 + BH^2$$. Отсюда $$1369x^2 = 1225x^2 + BH^2$$, и $$BH^2 = 144x^2$$, значит, $$BH = 12x$$. 4. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Пусть $$a = BC = 42$$. По теореме синусов, $$\frac{a}{\sin A} = 2R$$, где $$R$$ - радиус описанной окружности. 5. В треугольнике $$ABH$$, $$\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{35x}{37x} = \frac{35}{37}$$, $$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{35}{37})^2} = \sqrt{1 - \frac{1225}{1369}} = \sqrt{\frac{144}{1369}} = \frac{12}{37}$$. 6. Подставим в теорему синусов: $$\frac{42}{\frac{12}{37}} = 2R$$, $$2R = \frac{42 \cdot 37}{12} = \frac{14 \cdot 37}{4} = \frac{7 \cdot 37}{2} = \frac{259}{2}$$. 7. $$R = \frac{259}{4} = 64.75$$. Ответ: 64.75