121 В треугольнике АВС дано: ZC = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, СМ ме- диана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причём СК = 12 см. Найдите КМ.

Решение:

Дано: ΔABC, ∠C = 90°, AC = 6 см, BC = 8 см, CM - медиана, CK ⊥ (ABC), CK = 12 см.

Найти: KM.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
• По теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$
• Следовательно, $$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ см}$$
• Так как CK ⊥ (ABC), то CK ⊥ CM.
• Рассмотрим треугольник СКМ: он прямоугольный, так как CK ⊥ CM.
• По теореме Пифагора: $$KM = \sqrt{CK^2 + CM^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

Ответ: 13 см