3. В треугольнике АВС известно, что ∠C= 90°, ∠B=30°. На катете ВС отме- тили точку D такую, что < ADC = 60°. Найти катет ВС, если СД = 4 см.

Ответ: BC = \(4\sqrt{3}\) см

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ADC. Он прямоугольный, так как угол C = 90°. Угол ADC = 60°, следовательно, угол DAC = 180° - 90° - 60° = 30°.

2. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, AC = 1/2 * AD.

3. Известно, что CD = 4 см. Используем тангенс угла ADC для нахождения AC:

   \[tg(60°) = \frac{AC}{CD}\]

   \[AC = CD \cdot tg(60°) = 4 \cdot \sqrt{3} \] см

4. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, угол B = 30°.

5. Найдем BC, используя тангенс угла B:

   \[tg(30°) = \frac{AC}{BC}\]

   \[BC = \frac{AC}{tg(30°)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12\] см

Ответ: BC = \(4\sqrt{3}\) см