4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠B = 30°. На катете ВС отметили точку D такую, что LADC = = 60°. Найдите катет ВС, если CD = 5 см.

Рассмотрим треугольник ADC.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда, угол DAC равен:

180° - 90° - 60° = 30°.

В треугольнике ADC, угол DAC равен углу B, следовательно, треугольники подобны. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Тогда, катет AD равен:

$$tg(60°) = \frac{AD}{CD}$$, где CD = 5 см

$$AD = CD \times tg(60°) = 5 \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$

Катет BD равен:

$$tg(30°) = \frac{BD}{AD}$$

$$BD = AD \times tg(30°) = 5\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 5$$

Тогда катет BC равен:

BD + CD = 5 + 5 = 10

Ответ: 10 см