В треугольнике АВС известно, что AC = BC, AB = 18, tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}. Найдите длину стороны АС.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Анализ треугольника:
   Так как \(AC = BC\), треугольник АВС равнобедренный. Основанием является сторона АВ.
2. Проводим высоту:
   Опустим высоту СН из вершины С на основание АВ. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, Н — середина АВ, и \(AH = HB = AB/2\).
3. Находим AH:
   \(AB = 18\), значит \(AH = 18 / 2 = 9\).
4. Рассматриваем прямоугольный треугольник АНС:
   В этом треугольнике \(\angle AHC = 90^°\). Нам известно \(tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}\).
5. Используем тангенс:
   Тангенс угла А в прямоугольном треугольнике АНС равен отношению противолежащего катета (СН) к прилежащему катету (АН): \(tg A = \frac{CH}{AH}\).
6. Находим CH:
   \(\frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{CH}{9}\).
   \(CH = 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = 3\sqrt{7}\).
7. Находим AC (гипотенузу):
   Используем теорему Пифагора для треугольника АНС: \(AC^2 = AH^2 + CH^2\).
   \(AC^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2\).
   \(AC^2 = 81 + (9 \cdot 7)\).
   \(AC^2 = 81 + 63\).
   \(AC^2 = 144\).
   \(AC = \sqrt{144} = 12\).

Ответ: 12