1115 В треугольнике АВС известно, что АС = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите АВ и SABC.

Решение задачи:

1. Найдем угол B: ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 75° - 60° = 45°
2. По теореме синусов: $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$$ $$AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{12 \cdot \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{6} \approx 14.7 \text{ см}$$
3. Найдем площадь треугольника: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \sin 75°$$ $$S_{ABC} = 36\sqrt{6} \cdot \sin 75° \approx 36 \cdot 2.45 \cdot 0.966 \approx 85.2 \text{ см}^2$$

Ответ: AB ≈ 14.7 см, SABC ≈ 85.2 см²