В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, АВ-14, \(tg A = \frac{3\sqrt{39}}{7}\). Найдите длину стороны АС.

Пусть \(AC = BC = x\). Треугольник ABC - равнобедренный.

Проведем высоту CH к основанию AB. Так как треугольник равнобедренный, высота является и медианой, то есть AH = HB = \(\frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Известно, что \(tg A = \frac{CH}{AH}\).

Выразим CH: \(CH = AH cdot tg A = 7 cdot \frac{3\sqrt{39}}{7} = 3\sqrt{39}\)

Теперь найдем AC по теореме Пифагора: \(AC^2 = AH^2 + CH^2\)

\[AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{7^2 + (3\sqrt{39})^2} = \sqrt{49 + 9 cdot 39} = \sqrt{49 + 351} = \sqrt{400} = 20\]

Ответ: 20