В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB=18, \( tgA = \frac{2\sqrt{22}}{9} \). Найдите длину стороны АС.

Решение:

Треугольник ABC — равнобедренный, так как AC = BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

Известно, что \( tgA = \frac{2\sqrt{22}}{9} \).

Введём высоту CD, опущенную из вершины C на основание AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, D — середина AB, и \( AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нём \( \angle ADC = 90^{\circ} \).

Мы знаем \( tgA = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CD}{AD} \).

Подставим известные значения:

\( \frac{2\sqrt{22}}{9} = \frac{CD}{9} \)

Отсюда находим CD:

\( CD = 9 \cdot \frac{2\sqrt{22}}{9} = 2\sqrt{22} \).

Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADC:

\( AC^2 = AD^2 + CD^2 \)

Подставим значения AD и CD:

\( AC^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 \)

\( AC^2 = 81 + 4 \cdot 22 \)

\( AC^2 = 81 + 88 \)

\( AC^2 = 169 \)

Извлечём квадратный корень:

\( AC = \sqrt{169} = 13 \).

Ответ: 13