В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, AB=14, tgA= \(\frac{4\sqrt{2}}{7}\) . Найдите длину стороны АС.

Дано:

• Треугольник АВС
• АС = ВС (треугольник равнобедренный)
• AB = 14
• \( \text{tg}A = \frac{4\sqrt{2}}{7} \)

Найти:

• Длину стороны АС

Решение:

Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то углы при основании равны: ∠A = ∠B.

Проведем высоту СН из вершины С к основанию АВ. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, она делит основание АВ пополам.

АН = НВ = \( \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АНС. В нем:

• \( \text{tg}A = \frac{CH}{AH} \)

Мы знаем \( \text{tg}A = \frac{4\sqrt{2}}{7} \) и \( AH = 7 \). Подставим эти значения:

• \( \frac{4\sqrt{2}}{7} = \frac{CH}{7} \)

Отсюда, можем найти высоту СН:

• \( CH = \frac{4\sqrt{2}}{7} × 7 = 4\sqrt{2} \).

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АНС, найдем длину гипотенузы АС:

• \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)
• \( AC^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2 \)
• \( AC^2 = 49 + (16 × 2) \)
• \( AC^2 = 49 + 32 \)
• \( AC^2 = 81 \)
• \( AC = \sqrt{81} \)
• \( AC = 9 \)

Ответ: 9