5. В треугольнике АВС известно, что ZC = 90°, ∠A = 60°. На катете ВС отмети ли точку К такую, что ДAКС = 60°. Найди те отрезок СК, если ВК = 12 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$.

Дано: $$\angle C = 90°, \angle A = 60°, \angle AKC = 60°, BK = 12$$ см.

Найти: $$CK$$.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна $$180°$$.

Тогда в треугольнике $$ABC$$ угол $$B = 180° - 90° - 60° = 30°$$.

В треугольнике $$AKC$$ угол $$\angle CAK = 180° - 90° - 60° = 30°$$.

Угол $$\angle AKB$$ является смежным с углом $$\angle AKC$$.

Следовательно, $$\angle AKB = 180° - 60° = 120°$$.

Тогда в треугольнике $$AKB$$ угол $$\angle BAK = 180° - 120° - 30° = 30°$$.

Таким образом, треугольник $$AKB$$ является равнобедренным с основанием $$AK$$, так как углы при основании равны.

Следовательно, $$BK = AB = 12$$ см.

Катет, лежащий против угла в $$30°$$, равен половине гипотенузы.

Значит, $$AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$$ см.

$$tg 60° = \frac{CK}{AC}$$.

$$CK = AC \cdot tg 60° = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$6\sqrt{3}$$ см.