В треугольнике АВС М — точка пересечения медиан, \(\vec{MA} = \vec{a}\), \(\vec{MB} = \vec{b}\). Выразите векторы АВ, ВС, СА через векторы а и б.

Обозначим через C' середину стороны AB, через A' середину стороны BC, и через B' середину стороны AC. Поскольку M — точка пересечения медиан, то выполняются следующие соотношения:

$$\vec{MC} = -(\vec{MA} + \vec{MB}) = -(\vec{a} + \vec{b})$$

$$\vec{AB} = \vec{MB} - \vec{MA} = \vec{b} - \vec{a}$$

$$\vec{BC} = \vec{MC} - \vec{MB} = -\vec{a} - \vec{b} - \vec{b} = -\vec{a} - 2\vec{b}$$

$$\vec{CA} = \vec{MA} - \vec{MC} = \vec{a} + (\vec{a} + \vec{b}) = 2\vec{a} + \vec{b}$$

Ответ:

1. $$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$$
2. $$\vec{BC} = -\vec{a} - 2\vec{b}$$
3. $$\vec{CA} = 2\vec{a} + \vec{b}$$