В треугольнике АВС отмечены середины М и N сторон ВС и АС соответственно. Площадь треугольника CNM равна 35. Найдите площадь четырёхугольника АВМN.

Так как M и N - середины сторон BC и AC соответственно, то MN - средняя линия треугольника ABC. Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия k = 1/2.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

$$\frac{S_{CNM}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

Отсюда следует, что площадь треугольника ABC в 4 раза больше площади треугольника CNM:

$$S_{ABC} = 4 \cdot S_{CNM} = 4 \cdot 35 = 140$$

Площадь четырёхугольника ABNM равна разности площадей треугольников ABC и CNM:

$$S_{ABNM} = S_{ABC} - S_{CNM} = 140 - 35 = 105$$

Ответ: 105