В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите величину угла В, если ∠C=12° и АК = СК. Ответ дайте в градусах.

Так как АК = СК, треугольник АКС равнобедренный, следовательно, ∠CAK = ∠C = 12°.

Угол ∠AKC является внешним углом треугольника АВК. ∠AKC = ∠B + ∠BAK.

Сумма углов в треугольнике АКС: ∠AKC + ∠CAK + ∠C = 180°. ∠AKC + 12° + 12° = 180°. ∠AKC = 180° - 24° = 156°.

Теперь найдем ∠B: 156° = ∠B + ∠BAK.

АК - биссектриса, значит ∠BAC = 2 * ∠CAK = 2 * 12° = 24°.

В треугольнике АВС: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. 24° + ∠B + 12° = 180°. ∠B = 180° - 36° = 144°.

Проверка: ∠AKC = 180° - 156° = 24° (смежный угол). Тогда 24° = ∠B + ∠BAK. Но ∠BAK = ∠BAC / 2 = 24° / 2 = 12°. 24° = ∠B + 12°. ∠B = 12°.

В треугольнике АВС: 24° + 12° + 12° = 48° ≠ 180°. Ошибка в рассуждении.

Вернемся к треугольнику АКС. ∠AKC = 180° - 12° - 12° = 156°.

В треугольнике АВК: ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 156° = 24°.

В треугольнике АВК: ∠B + ∠BAK + ∠AKB = 180°.

∠BAK = ∠BAC / 2.

В треугольнике АВС: ∠BAC + ∠B + ∠C = 180°.

∠BAC + ∠B + 12° = 180°.

∠BAC = 168° - ∠B.

∠BAK = (168° - ∠B) / 2 = 84° - ∠B/2.

Подставляем в уравнение для треугольника АВК: ∠B + (84° - ∠B/2) + 24° = 180°.

∠B/2 + 108° = 180°.

∠B/2 = 72°.

∠B = 144°.

Проверка: ∠BAC = 168° - 144° = 24°. ∠BAK = 12°. ∠AKB = 180° - 144° - 12° = 24°. ∠AKC = 180° - 24° = 156°. В треугольнике АКС: 12° + 12° + 156° = 180°. Все верно.