В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ, ∠BAK = 70°, ∠AKC = 110°. Докажите, что ВМ ⊥ АК.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол ABK.

1. Угол ABK = \( 180° - \angle BAK - \angle BKA \).
2. Угол AKC — внешний угол треугольника ABK, поэтому \( \angle AKC = \angle BAK + \angle ABK \).
3. Выразим \( \angle ABK \) через известные углы: \( \angle ABK = \angle AKC - \angle BAK = 110° - 70° = 40° \).
4. Теперь найдем угол ABM. Так как BM — биссектриса угла ABC, то \( \angle ABM = \frac{1}{2} \angle ABC \).
5. Угол ABC = \( \angle ABK \) = 40°, так как K лежит на стороне AC.
6. Угол ABM = \( \frac{1}{2} \cdot 40° = 20° \).
7. В треугольнике ABM сумма углов равна 180°: \( \angle AMB = 180° - \angle BAM - \angle ABM \).
8. \( \angle BAM = \angle BAK = 70° \).
9. \( \angle AMB = 180° - 70° - 20° = 90° \).
10. Так как \( \angle AMB = 90° \), то BM ⊥ AK.

Доказано.