13. В треугольнике АВС проведены высота ВН и медиа на ВМ, ВМ = 1/2 АС, ∠A = 60°, HM = 24 см. Найдите HC

Решение:

В треугольнике ABC проведены высота BH и медиана BM, BM = \(\frac{1}{2}\)AC, \(\angle A = 60^\circ\), HM = 24 см. Нужно найти HC.

Так как BM – медиана и BM = \(\frac{1}{2}\)AC, то BM = MC (медиана равна половине стороны, к которой проведена).

Тогда треугольник BMC – равнобедренный, следовательно, \(\angle MBC = \angle C\).

Так как BH – высота, то треугольник ABH – прямоугольный, и \(\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

В треугольнике ABM: \(\angle ABM + \angle A + \angle AMB = 180^\circ\).

Так как \(\angle A = 60^\circ\), то \(\angle ABM + \angle AMB = 120^\circ\).

Так как \(\angle AMB = \angle MBC + \angle C\), то \(\angle AMB = 2\angle C\). Тогда \(\angle ABM + 2\angle C = 120^\circ\).

В треугольнике ABC: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\). Тогда \(60^\circ + \angle B + \angle C = 180^\circ\), следовательно, \(\angle B + \angle C = 120^\circ\).

Так как \(\angle B = \angle ABM + \angle MBC\), то \(\angle ABM + \angle MBC + \angle C = 120^\circ\). Но \(\angle MBC = \angle C\), следовательно, \(\angle ABM + 2\angle C = 120^\circ\).

Следовательно, \(\angle ABM = \angle MBC = \angle C\). Тогда \(\angle ABC = 2\angle C\) и \(\angle A + \angle B + \angle C = 60^\circ + 2\angle C + \angle C = 180^\circ\).

Тогда \(3\angle C = 120^\circ\), следовательно, \(\angle C = 40^\circ\) и \(\angle ABC = 80^\circ\).

В треугольнике BHC: \(\angle HBC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).

Так как \(\angle ABH = 30^\circ\), то \(\angle ABM = 30^\circ\) (так как \(\angle ABM = \angle MBC\)).

Тогда \(\angle MBH = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ\).

Теперь рассмотрим треугольник BHM: \(\angle HMB + \angle MBH = 90^\circ\) (так как BH – высота).

Тогда \(\angle HMB = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\).

В треугольнике BMC: \(\angle BMC = 180^\circ - 2\angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).

Тогда \(\angle HMC = 180^\circ - \angle HMB - \angle BMC = 180^\circ - 70^\circ - 100^\circ = 10^\circ\).

MC = BM = \(\frac{1}{2}\)AC = AM.

Рассмотрим треугольник ABM: \(\angle ABM + \angle A + \angle AMB = 180^\circ\).

Тогда \(30^\circ + 60^\circ + \angle AMB = 180^\circ\), следовательно, \(\angle AMB = 90^\circ\). Тогда треугольник ABM – прямоугольный.

Тогда AM = MC = \(\frac{1}{2}\)AC = BC.

Из условия HM = 24 см следует, что HC = HM = 24 см.