25 В треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СМ. Найдите радиус вписанной в треугольник АВС окружности, если радиус окружности, вписанной в треугольник ВСМ, ра- вен 8, a cos ∠BAC = 0,6.

Для решения этой задачи потребуется несколько этапов. Обозначим радиус вписанной окружности в треугольник ABC как r, а радиус вписанной окружности в треугольник BCM как r₁, где r₁ = 8.

1. Треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C. CM — высота, проведённая к гипотенузе AB.
2. Треугольник BCM также прямоугольный, так как CM — высота.
3. Известно, что cos∠BAC = 0.6. Обозначим ∠BAC = α.
4. Так как треугольники ABC и BCM подобны (оба прямоугольные и имеют общий угол B), то ∠BAC = ∠BCM = α.
5. Для прямоугольного треугольника ABC радиус вписанной окружности можно выразить как:
   $$r = \frac{a + b - c}{2}$$, где a и b — катеты, c — гипотенуза.
6. Аналогично для треугольника BCM:
   $$r_1 = \frac{CM + BC - BM}{2} = 8$$
7. Из подобия треугольников ABC и BCM следует:
   $$\frac{r}{r_1} = \frac{AB}{BC}$$
8. Нам известно, что cos α = 0.6 = \frac{AC}{AB}. Следовательно, AC = 0.6 * AB.
9. Также известно, что sin α = \frac{BC}{AB}. Так как sin²α + cos²α = 1, то sin α = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8.
10. Таким образом, BC = 0.8 * AB.
11. Теперь выразим AB через BC:
    $$AB = \frac{BC}{0.8} = 1.25 BC$$
12. Подставим это в отношение радиусов:
    $$\frac{r}{8} = \frac{1.25 BC}{BC} = 1.25$$
13. Отсюда находим радиус r:
    $$r = 8 \cdot 1.25 = 10$$

Ответ: 10