Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

1. **Свойства параллелограмма:** В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны (AB || CD и BC || AD) и равны (AB = CD и BC = AD). Диагонали параллелограмма (AC и BD) пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам (AO = OC и BO = OD). 2. **Равенство углов:** Так как AB || CD, то \( \angle OPA = \angle OQC \) как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей PQ. Также, \( \angle AOP = \angle COQ \) как вертикальные углы. 3. **Равенство треугольников:** Рассмотрим треугольники \( \triangle AOP \) и \( \triangle COQ \). В них: - \( AO = OC \) (по свойству диагоналей параллелограмма) - \( \angle OPA = \angle OQC \) (доказано выше) - \( \angle AOP = \angle COQ \) (доказано выше) Таким образом, \( \triangle AOP = \triangle COQ \) по стороне и двум прилежащим углам. 4. **Равенство сторон AP и CQ:** Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: \( AP = CQ \). 5. **Равенство отрезков:** - Так как \( AB = CD \) (свойство параллелограмма) и \( AP = CQ \) (доказано выше), то вычитая равенство отрезков из равенства сторон получим: \( AB - AP = CD - CQ \) - Следовательно, \( BP = DQ \). Ответ: Отрезки BP и DQ равны.