В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА₁ и ВВ₁. Докажите, что треугольники А₁СВ₁ и АСВ подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники A₁CB₁ и ACB:

1. ∠C - общий угол для обоих треугольников.
2. Высоты AA₁ и BB₁ проведены к сторонам BC и AC соответственно, следовательно, углы CA₁A и CB₁B прямые, то есть ∠CA₁A = ∠CB₁B = 90°.
3. Рассмотрим четырёхугольник A₁ABB₁. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°. Значит, ∠A₁AB + ∠BB₁A + ∠B + ∠A₁B₁ = 360°. Из этого следует, что ∠AA₁B и ∠BB₁A - прямые, поэтому ∠A + ∠B₁A₁B = 180°.
4. ∠A₁CB₁ - тупой.
5. ∠ACA₁ = ∠BCB₁ = 90°. Следовательно, треугольники ACA₁ и BCB₁ - прямоугольные.

Для доказательства подобия треугольников A₁CB₁ и ACB нам нужно показать, что ∠CA₁B₁ = ∠CAB или ∠CB₁A₁ = ∠CBA.

В четырёхугольнике A₁ABB₁ углы ∠AA₁B и ∠BB₁A прямые (90°), следовательно, сумма оставшихся углов ∠A и ∠B₁A₁B равна 180°. Это означает, что четырёхугольник A₁ABB₁ - вписанный (сумма противоположных углов равна 180°).

Углы ∠CAB и ∠CA₁B₁ опираются на одну и ту же дугу CB₁ в окружности, описанной вокруг четырёхугольника A₁ABB₁. Следовательно, эти углы равны: ∠CAB = ∠CA₁B₁.

Таким образом, у треугольников A₁CB₁ и ACB есть общий угол ∠C и равные углы ∠CA₁B₁ = ∠CAB. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.

Вывод: треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.