1 В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены 0 высоты АА₁ и СС₁. Докажите, что треугольники А₁ВС₁ и АВС подобны.

В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA₁ и CC₁.

Доказать: ΔA₁BC₁ ~ ΔABC

1. Рассмотрим треугольники AA₁B и CC₁B. Угол A₁BA = углу C₁BC (общий угол). Угол AA₁B = углу CC₁B = 90° (так как AA₁ и CC₁ - высоты).
2. Следовательно, треугольники AA₁B и CC₁B подобны по двум углам.
3. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: BA₁ / BC = BC₁ / BA.
4. Перепишем это равенство в виде: BA₁ / BC₁ = BC / BA.
5. Рассмотрим треугольники A₁BC₁ и ABC. Угол B - общий. Стороны, прилежащие к углу B, пропорциональны (BA₁ / BC₁ = BC / BA).
6. Следовательно, ΔA₁BC₁ ~ ΔABC по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).