12. В треугольнике АВС сторона АС = 17, ВМ – медиана, ВН – высота, ВС = ВМ. Найдите длину отрезка АН.

Рассмотрим треугольник BHC. Так как BH - высота, то угол BHC прямой, то есть треугольник BHC - прямоугольный. По условию, BC = BM. Так как BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 17/2 = 8.5. По условию, BC = BM, значит, BC = BM = 8.5. Следовательно, треугольник BHC - прямоугольный, BC = BM = 8.5. Так как BC = BM, то треугольник BMC - равнобедренный, а значит, углы при основании равны: ∠MBC = ∠BMC. Так как ВН - высота, то угол ВНС прямой. Из прямоугольного треугольника BHC имеем: HC^2 + BH^2 = BC^2. Треугольник ABH - прямоугольный. Из прямоугольного треугольника ABH имеем: AH^2 + BH^2 = AB^2.

Выразим АН: АН = АМ + МН = 8,5 + МН. Выразим НС: НС = МС - МН = 8,5 - МН.

По условию ВС = ВМ. Следовательно, треугольник ВМС - равнобедренный. Значит, ∠ВМС = ∠ВСМ. ΔАВС: ∠А + ∠В + ∠С = 180°. ΔВМС: ∠ВМС + ∠ВСМ + ∠МВС = 180°. Значит, ∠А = ∠С. Следовательно, АВ = ВС. Следовательно, АВ = ВС = ВМ = 8,5.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АВН и СВН. У них общий катет ВН, АВ = ВС. Следовательно, треугольники АВН и СВН равны. А значит, АН = СН. Получаем АН = АС/2 = 17/2 = 8,5.

Ответ: 8,5