18. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Хи У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 22.

Так как $$AB = BC$$, то треугольник $$ABC$$ - равнобедренный, следовательно, $$\angle BAC = \angle ACB = 75^\circ$$.

Тогда $$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ$$.

Треугольник $$ABX$$ - равнобедренный, так как $$AX = BX$$, следовательно, $$\angle BAX = \angle ABX = 30^\circ$$.

Тогда $$\angle AXB = 180^\circ - \angle BAX - \angle ABX = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$.

$$\angle AXC = 180^\circ - \angle AXB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$.

Так как $$\angle BAX = \angle YAX = 30^\circ$$, то $$\angle BAY = \angle BAX + \angle YAX = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$$.

Тогда $$\angle AYX = 180^\circ - \angle YAX - \angle AXC = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$$.

Рассмотрим треугольник $$AXY$$: $$\angle YAX = 30^\circ$$, $$\angle AYX = 90^\circ$$.

Тогда $$\angle AXY = 60^\circ$$, значит, $$AXY$$ - прямоугольный треугольник с углом 30 градусов.

Напротив угла 30 градусов лежит катет $$XY$$, который равен половине гипотенузы $$AY$$, то есть, $$XY = \frac{AX}{2}$$.

То есть получается, что $$\angle XAY = \angle YAX$$. Значит, $$AX = AY$$. То есть $$AY = 22$$

Ответ: 22