12.31. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны 10 см, сторона AC– 12 см. Точка К удалена от каждой из прямых АВ, ВС И СА на 13 см. Найдите расстояние от точки К до плоскости АВС.

Пусть r — расстояние от точки K до сторон треугольника ABC, равное 13 см. Пусть d — расстояние от точки K до плоскости ABC.

Так как K удалена от каждой из сторон треугольника на 13 см, проекция K на плоскость ABC является центром вписанной окружности. Обозначим этот центр через O. Тогда расстояния от O до каждой из сторон треугольника равны радиусу вписанной окружности, r_впис.

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона: p = (10 + 10 + 12) / 2 = 16 см. S = √(16 * (16 - 10) * (16 - 10) * (16 - 12)) = √(16 * 6 * 6 * 4) = √(2304) = 48 см^2.

Радиус вписанной окружности равен S / p = 48 / 16 = 3 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, где катеты — расстояние от K до плоскости ABC (d) и радиус вписанной окружности (3 см), а гипотенуза — расстояние от K до стороны треугольника (13 см). По теореме Пифагора: d^2 + r_впис^2 = r^2. d^2 = 13^2 - 3^2 = 169 - 9 = 160. d = √160 = 4√10 см.

Ответ: 4√10 см.