Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Дано:
- \[ \triangle ABC \]
- \[ \angle A = 60^{\circ} \]
- \[ \angle B = 45^{\circ} \]
- \[ BC = 5\sqrt{6} \]
Найти:
- \[ AC \]
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.
Сначала найдем угол C:
\[ \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B \]
\[ \angle C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 45^{\circ} \]
\[ \angle C = 75^{\circ} \]
Теперь применим теорему синусов:
\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]
\[ \frac{AC}{\sin 45^{\circ}} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60^{\circ}} \]
Известно, что \[ \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] и \[ \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]. Подставим эти значения:
\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
Умножим обе стороны на \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]:
\[ AC = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \]
\[ AC = \frac{5\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \]
Упростим \[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \]:
\[ AC = \frac{5 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]
\[ AC = 10 \]
Ответ:
10
