В треугольнике АВС угол АВС равен 120°, АВ = ВС, ВМ - медиана. На луче ВМ отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите FM, если BF = 36.

Ответ: 18

1. Поскольку \(AB = BC\), треугольник \(ABC\) равнобедренный. \(BM\) – медиана, проведенная к основанию \(AC\), следовательно, она также является биссектрисой и высотой. Значит, \(\angle ABM = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\) и \(BM \perp AC\).
2. Рассмотрим треугольник \(ABF\). По условию, \(\angle BAF = 90^\circ\). Тогда \(\angle AFB = 180^\circ - \angle BAF - \angle ABF = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
3. В прямоугольном треугольнике \(ABF\) катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, \(BF = \frac{1}{2} AB\), отсюда \(AF = BF = 36\).
4. Так как \(BM\) — медиана, то \(AM = MC\). В прямоугольном треугольнике \(ABM\) \(\angle ABM = 60^\circ\), значит, \(\angle BAM = 30^\circ\). Тогда \(AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18\).
5. Рассмотрим треугольник \(AMF\). \(\angle MAF = \angle BAF - \angle BAM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Так как \(AM = 18\) и \(AF = 36\), то \(FM = AF - AM = 36 - 18 = 18\).

Ответ: 18