В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 100, sin A = \(\frac{4}{5}\). Найдите длину отрезка АН.

Ответ: 64

1. В прямоугольном треугольнике ABC: sin A = \(\frac{BC}{AB}\). Отсюда, BC = AB \(\cdot\) sin A = 100 \(\cdot\) \(\frac{4}{5}\) = 80.
2. По теореме Пифагора, AC = \(\sqrt{AB^2 - BC^2}\) = \(\sqrt{100^2 - 80^2}\) = \(\sqrt{10000 - 6400}\) = \(\sqrt{3600}\) = 60.
3. В прямоугольном треугольнике ACH: cos A = \(\frac{AH}{AC}\). Отсюда, AH = AC \(\cdot\) cos A.
4. Так как sin A = \(\frac{4}{5}\), то cos A = \(\sqrt{1 - sin^2 A}\) = \(\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}\) = \(\sqrt{1 - \frac{16}{25}}\) = \(\sqrt{\frac{9}{25}}\) = \(\frac{3}{5}\).
5. AH = 60 \(\cdot\) \(\frac{3}{5}\) = 36.

Ответ: 36