В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 100, sin A = 4/5. Найдите длину отрезка АН.

Ответ:

Логика такая:

1. В прямоугольном треугольнике ABC: \[sin A = \frac{BC}{AB}\] Тогда: \[BC = AB \cdot sin A = 100 \cdot \frac{4}{5} = 80\]
2. По теореме Пифагора найдем AC: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100^2 - 80^2} = \sqrt{10000 - 6400} = \sqrt{3600} = 60\]
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нём: \[cos A = \frac{AH}{AC}\] Также знаем, что: \[cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\]
4. Теперь найдем AH: \[AH = AC \cdot cos A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36\]

Ответ: 36

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил теорему Пифагора и определение синуса.