4. В треугольнике АВС угол C равен 90°, ВС = 25, 12 cos A = 13 Найдите АС.

Шаг 1: Запишем формулу косинуса угла A:

\[cos A = \frac{AC}{AB}\]

Шаг 2: Выразим AC через cos A и AB:

\[AC = AB \cdot cos A\]

Шаг 3: Найдем AB, используя основное тригонометрическое тождество и известные значения BC и cos A:

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\] \[sin A = \sqrt{1 - cos^2 A}\] \[sin A = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}\] \[sin A = \sqrt{1 - \frac{144}{169}}\] \[sin A = \sqrt{\frac{25}{169}}\] \[sin A = \frac{5}{13}\]

Шаг 4: Теперь найдем AB, используя определение синуса:

\[sin A = \frac{BC}{AB}\] \[AB = \frac{BC}{sin A}\] \[AB = \frac{25}{\frac{5}{13}}\] \[AB = 25 \cdot \frac{13}{5}\] \[AB = 65\]

Шаг 5: Найдем AC, используя теорему Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 - BC^2\] \[AC^2 = 65^2 - 25^2\] \[AC^2 = 4225 - 625\] \[AC^2 = 3600\] \[AC = \sqrt{3600}\] \[AC = 60\]