В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 5, cos A = $$\frac{5\sqrt{41}}{41}$$. Найдите длину стороны ВС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90°, по определению косинуса угла A:

\[ \cos A = \frac{\text{катет, прилежащий к углу A}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]

Нам дано $$AC = 5$$ и $$\cos A = \frac{5\sqrt{41}}{41}$$.

Подставим известные значения в формулу:

\[ \frac{5\sqrt{41}}{41} = \frac{5}{AB} \]

Чтобы найти AB, решим это уравнение:

\[ AB = \frac{5}{\frac{5\sqrt{41}}{41}} = 5 \cdot \frac{41}{5\sqrt{41}} = \frac{41}{\sqrt{41}} \]

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{41}$$:

\[ AB = \frac{41 \cdot \sqrt{41}}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{41}} = \frac{41\sqrt{41}}{41} = \sqrt{41} \]

Теперь, зная AC и AB, мы можем найти BC, используя теорему Пифагора ($$AC^2 + BC^2 = AB^2$$):

\[ 5^2 + BC^2 = (\sqrt{41})^2 \]

\[ 25 + BC^2 = 41 \]

\[ BC^2 = 41 - 25 \]

\[ BC^2 = 16 \]

\[ BC = \sqrt{16} = 4 \]

Ответ: 4