В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, АB = 90, sin A = 1/3. Найдите длину отрезка ВН.

В прямоугольном треугольнике ABC, по определению синуса угла A:

$$ \sin A = \frac{BC}{AB} $$

Нам известно, что $$AB = 90$$ и $$\sin A = \frac{1}{3}$$. Подставим эти значения в формулу:

$$ \frac{1}{3} = \frac{BC}{90} $$

Чтобы найти длину катета BC, умножим обе части уравнения на 90:

$$ BC = 90 \times \frac{1}{3} = 30 $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. Угол CHB равен 90°, так как CH — высота.

В треугольнике ABC, угол C = 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, угол B = $$180° - 90° - A$$.

В прямоугольном треугольнике CBH, угол C = 90°, CH - высота. Угол B является общим для треугольников ABC и CBH. Угол BCH = $$90° - B$$.

Из треугольника ABC, мы знаем $$\sin A = \frac{1}{3}$$. Так как $$A + B = 90°$$ в прямоугольном треугольнике ABC, то $$\cos B = \sin A = \frac{1}{3}$$.

В прямоугольном треугольнике CBH, по определению косинуса угла B:

$$ \cos B = \frac{BH}{BC} $$

Мы нашли, что $$BC = 30$$. Подставим известные значения:

$$ \frac{1}{3} = \frac{BH}{30} $$

Чтобы найти длину отрезка BH, умножим обе части уравнения на 30:

$$ BH = 30 \times \frac{1}{3} = 10 $$

Ответ: 10