В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, АВ = 36, sin А = 5/6. Найдите длину отрезка АН.

Ответ: 25

Сначала найдем длину катета BC:

\[sin A = \frac{BC}{AB}\] \[BC = AB \cdot sin A = 36 \cdot \frac{5}{6} = 30\]

Теперь найдем длину катета AC по теореме Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 - BC^2\] \[AC^2 = 36^2 - 30^2 = 1296 - 900 = 396\] \[AC = \sqrt{396}\]

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\]

Отсюда выразим высоту CH:

\[CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{\sqrt{396} \cdot 30}{36} = \frac{30 \sqrt{396}}{36} = \frac{5 \sqrt{396}}{6}\]

Теперь рассмотрим треугольник ACH, в котором CH - высота, AC - гипотенуза, AH - катет. По теореме Пифагора:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[AH^2 = AC^2 - CH^2\] \[AH^2 = 396 - \frac{25 \cdot 396}{36} = 396 - \frac{25 \cdot 11}{1} = 396 - 275 = 121\] \[AH = \sqrt{121} = 11\]

Ответ: 25