Решение:

Используем метод удвоения медианы. Пусть дан треугольник ABC, в котором AB = 11, BC = 23, медиана BD = 10. Продлим медиану BD на отрезок DE, равный BD. Тогда AE = BC и треугольник BCE равен треугольнику ABE (по трем сторонам).

В параллелограмме ABEC сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: $$BE^2 + AC^2 = 2(AB^2 + BC^2)$$.

Так как BE = 2BD = 2 × 10 = 20, AB = 11, BC = 23, подставим известные значения в формулу:

$$20^2 + AC^2 = 2(11^2 + 23^2)$$ $$400 + AC^2 = 2(121 + 529)$$ $$400 + AC^2 = 2(650)$$ $$400 + AC^2 = 1300$$ $$AC^2 = 1300 - 400$$ $$AC^2 = 900$$ $$AC = \sqrt{900}$$ $$AC = 30$$

Ответ: Третья сторона равна 30.