В треугольнике две стороны равны 12 см и 13 см, а угол между ними — 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Обозначим третью сторону через \(c\). По теореме косинусов:

\(c^2=12^2+13^2-2\cdot12\cdot13\cos60^\circ=144+169-156=157\), поэтому \(c=\sqrt{157}\approx12.53\) см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\frac12\cdot12\cdot13\cdot\sin60^\circ=39\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{39\sqrt3}{2}\approx33.77\) см².

Ответ: третья сторона — \(\sqrt{157}\) см (примерно 12.53 см), площадь — \(\frac{39\sqrt3}{2}\) см² (примерно 33.77 см²).